Разложение функций по формуле Маклорена

Функцию f (x), имеющую (n + 1) производных в точке х = 0, можно представить по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:

Формула (5.2) дает возможность разложить функцию f (x) по формуле Маклорена (в окрестности нуля) или, что то же самое, представить f (x) в виде многочлена, коэффициенты ко­торого вычисляются достаточно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений раз­личных функций; при этом погрешность вычислений оценива­ется по остаточному члену о (xⁿ).

Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.

1. f (x) = е^x.

Поскольку (e^x)⁽ⁿ⁾ = e^х, f⁽ⁿ⁾ (0) = е ⁰ = 1 для любого п, формула Маклорена (5.2) имеет вид

Формула (5.3) используется для вычисления числа е с лю­бой необходимой точностью. Отсюда при х = 1 получаем при­ближенное значение числа е ≈ 2,7182818....

2. f (x) = sin x.

Нетрудно проверить, что f⁽ⁿ⁾(x) = sin ; отсюда имеем

Подстановка в формулу (5.3) приводит к выражению

3. f (x) = cos x.

По аналогии с функцией синуса имеем , откуда получаем

Подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению по формуле Маклорена:

4. f(x) = ln (l + х).

Так как , то f (0) = 0, ; подстановка в формулу (5.2) приводит к разложению функции ln (1 + x) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):

5. f (x) = (1 + x)^α, где α — вещественное число.

Производная n -го порядка имеет вид f⁽ⁿ⁾ (x) = α(α - 1)(α - 2)... (α - n +1)(1 + x) ^{α- n} , т.е. f⁽ⁿ⁾ (0) = α(α — 1)... (α - п + 1), и формула Маклорена для данной функции такова:

В частном случае, когда α = п — целое число, имеем f ^{(n + l)} = 0 и формула (5.7) переходит в формулу бинома Нью­тона: т.е. бином Ньютона является частным случаем формулы Мак­лорена.