Условия постоянства и монотонности функции одной переменной

Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция y=f(x) имеет производную в каждой точке интервала (a, b). Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале (a, b), необходимо и достаточно выполнение условия для . Для того, чтобы функция y=f(x) была монотонно убывающей на интервале (a, b), необходимо и достаточно выполнение условия для .

Док-во. Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то для любых , при выполняется .

Достаточность. Пусть для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. y=f(x) монотонно возрастает на (a, b). Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.

В случае, рассмотренном выше, мы не исключаем для функции f(x) возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале (и, как следствие, для её производной быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условия строгой монотонности функции на интервале:

Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функция y=f(x) имеет производную в каждой точке интервала (a, b). Для того, чтобы эта функция строго возрастала на интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: для ; не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала.

Док-во. Необходимость. Если f(x) строго возрастает, то, по условию выше для ; при этом не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала, так как в этом случае f(x) была бы постоянной на этом подынтервале, что противоречит условию строгого возрастания.

Достаточность. Если выполняются условия f(x) не убывает. Предположим, что для двух точек x₁ и x₂ интервала (a, b) значения функции равны: f (x₁) = f(x₂). Тогда, вследствие неубывания f(x), для f(x) = f (x₁) = f(x₂), т.е. f(x) постоянна на на этом интервале, что противоречит второму условию теоремы. Случай строгого убывания рассматривается аналогично