Асимптоты графика функции

Прямая x = x₀ называется вертикальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или . Прямая x = x₀ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке x = x₀. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Прямая y = y₀ называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно . График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x), если

Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.

Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, т.е. Тогда прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).

Очевидно, что прямая x = x₀ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.

Если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственно левостороннюю либо правостороннюю горизонтальную асимптоту.

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема о наклонной асимптоте. Если для функции y=f(x) существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту

y = kx + b при .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k = 0. Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту. Кривая y=f(x) может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Общий план исследования функции одной переменной и построения графиков.

Чтобы исследовать функцию y=f(x) и построить ее график необходимо:

1) найти область определения функции, то есть множество всех точек для которых существует значение функции;

2) найти (если они существуют) точки пересечения графика с координатными осями. Для этого нужно в уравнение y=f(x) подставить аргумент x = 0 а также решить уравнение f(x)=0 для отыскания точек пересечения с осью Ox;

3) исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность. В некоторых случаях это можно сделать визуально по самому виду функции, если нет, то провести проверку: 1. f(-x)=f(x) – функция четная;

2. f(-x)=-f(x) – функция нечетная; 3. f(x+T)=f(x) – функция периодическая, T– период функции.

Таким образом, если имеем парную функцию y=f(x) то достаточно построить ее для положительных значений x>0, после чего отразить ее симметрично относительно оси абсцисс на другую часть. В случае нечетной функции график будет симметричен относительно начала координат.

4) найти точки разрыва и исследовать их. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и существует предел , который равен значению функции. То есть . Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка. Точка x₀ является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки x₀, а в самой точке не является непрерывной. В этом случае говорят, что функция терпит разрыв в точке x₀. Выделяют три типа точек разрыва: устранимый разрыв; конечный разрыв (разрыв первого рода); бесконечный разрыв (разрыв второго рода).

5) найти интервалы монотонности, точки экстремумов и значения функции в этих точках. Функция y=f(x) имеет максимум в точке x₀, если её значение в этой точке больше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку x₀. Функция y=f(x) имеет минимум в точке x₀, если её значение в этой точке меньше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку x₀. Для определения критических точек находим производную по соответствующим правилам и используя таблицу производных. В критических точках производная равна нулю или не существует. Определяем знак производной в интервалах между критическими точками. Если на некотором интервале производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то на данном интервале функция убывает.

6) найти интервалы выпуклости, вмятины и точки перегиба. Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз. Если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх.

7) найти асимптоты кривой. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графика до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Образно выражаясь, график как бы прилипает к асимптоте. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке x₀ функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая x=x₀ является вертикальной асимптотой. График функции имеет наклонную асимптоту при (соответственно при ), если существуют конечные пределы (соответственно ). При этом уравнение наклонной асимптоты y=kx+b. Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет. Если и существует конечный предел , то асимптота является горизонтальной и её уравнение y=b.