Правила Лопиталя, примеры их применения для раскрытия неопределенностей

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x → а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если = 0, то , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞. Второе правило Лопиталя.

Если = ∞, то , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0× ⋅∞, ∞ - ∞, 1^∞ и 0⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований.