Понятие экстремума функции одной переменной, его критерии

Точка x₀ называется точкой локального максимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x₀).

Точка x₀ называется точкой локального минимума функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех x из этой окрестности f(x) ≥ f(x₀).

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума функции y=f(x), если для всех x из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство f(x) < f(x₀).

Точка x₀ называется точкой строгого локального минимума функции y=f(x), если для всех x из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство f(x) > f(x₀).

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

(Необходимое условие экстремума)

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке x₀, то ее производная f’(x₀) либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: f’(x) = 0, называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения f’(x) = 0), либо это точки, в которых производная f’(x) не существует.

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции y=f(x), выполнены следующие условия: функция непрерывна в окрестности точки x₀;

f’(x₀) = 0 или f’(x₀) не существует; производная f’(x) при переходе через точку x₀ меняет свой знак.

Тогда в точке x=x₀ функция y=f(x), имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку x₀ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку x₀ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная f’(x) при переходе через точку x₀ не меняет знак, то экстремума в точке x=x₀ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию y=f(x), на экстремум, необходимо: найти производную f’(x); найти критические точки, то есть такие значения , в которых f’(x) = 0 или f’(x) не существует; исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки; найти значение функции в экстремальных точках.

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции y=f(x), выполнены следующие условия: она непрерывна в окрестности точки x₀;

первая производная f’(x) = 0 в точке x₀; f’’(x) ≠ 0 в точке x₀.

Тогда в точке x₀ достигается экстремум, причем, если f’’(x₀) > 0, то в точке x=x₀ функция y=f(x), имеет минимум; если f’’(x₀) < 0, то в точке x=x₀ функция y=f(x), достигает максимум.