Определение дифференциалов высших порядков от функции одной переменной

Пусть функция зависит от переменной и дифференцируема в точке . Может оказаться, что в точке дифференциал , рассматриваемый как функция от , есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала данной функции, который называется дифференциалом второго порядка функции . Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

Случай независимой переменной. Пусть - функция независимой переменной , имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции

где - некоторое приращение независимой переменной , которое мы задаем сами и которое не зависит от . По определению

Переменной является аргумент . Значит, для дифференциала величина является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка

Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции . Тогда получим:

Итак,

Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала -го порядка: .