Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Производная сложной функции

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'.

Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

Производная частного двух функций если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Следствие 20.1. Следствие 20.2.

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Если функция u=φ(х) имеет производную u'_х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у'_u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у'_х в точке х, которая находится по формуле у'_х=у'_u*u'_х.

По условию

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

∆у=у'_u•∆u+α*∆u, где α→0 при ∆u→0. Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

Этому ∆u=u _х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0. Подставив значение ∆u в равенство, получим

Δy=y _u(u'_х•∆х+ß*∆х)+а(u'_х•∆х+ß•∆х), т.е. ∆у=у'u•u'_х•∆х+у'_u•ß•∆х+u'_х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у'_х=у'_u*u'_х.