Определение непрерывности функции. Разрыв функции 1-го рода в точке

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Непрерывность функции интуитивно связано с тем, что ее графиком является сплошная, нигде не прерывающаяся кривая. Мы вычерчиваем график такой функции, не отрывая ручки от бумаги.

Сформулируем понятие непрерывности на языке приращений. Пусть некоторое явление описывается функцией y = f(x) и точка a принадлежит области определения функции. Разность

x – a = называется приращением аргумента в точке a, разность f(x) – f(a) = f(a+ ) – f(a) = – приращением функции в точке a.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Функция f(x) имеет точку разрыва первого рода при x=a, если в это точке существуют левосторонний предел limx→a−0f(x) и правосторонний предел limx→a+0f(x). Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая: 1)Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: limx→a−0f(x)=limx→a+0f(x). Такая точка называется точкой устранимого разрыва. 2)Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: limx→a−0f(x)≠limx→a+0f(x). Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов ∣∣∣limx→a−0f(x)−limx→a+0f(x)∣∣∣ называется скачком функции.