Определение 4

1. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

2. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

3. Множество называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре.

4. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной произвольной линией, целиком принадлежащей данному множеству.

5. Открытое связное множество называется областью.

Пример: Построить область Dизменения переменных и заданную неравенствами:

1)

2)

3)

4)

Решение:

1) Этим неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, находящейся внутри и на границе прямоугольника, стороны которого лежат на прямых . Этот прямоугольник и есть область изменения переменных . Такая область, в которую входят и ее границы называется замкнутой (рис. 1).

Рис.1

2) В этом примере область Dесть совокупность всех точек, находящихся внутри эллипса , так как только эти точки удовлетворяют этому неравенству. Такая область, в которую не входят точки ее границы называется открытой(рис. 2).

Рис.2

3) Здесь область D имеет вид кольца, ограниченного окружностями с центром в начале координат и радиусами Область называется замкнутая, так как включает границу (рис. 3).

Рис. 3

4) Эта область Dоткрытая. Она ограниченна биссектрисой первого координатного угла и осью абсцисс(рис. 4).

Рис. 4