Производная по направлению

Пусть заданы функция , определенная в некоторой окрестности точки
, и — единичный вектор .

Через точку проведем прямую в направлении вектора и обозначим приращение функции, которое она получает при смещении из точки в некоторую точку на этой прямой. Обозначим – приращение функции в направлении (рис.9).

Рис.9

Производной функции в точке по направлению называется предел отношения к при

Обозначение

Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в данной точке в данном направлении.

Составим формулу для производной по направлению. Для этого используем параметрические уравнения прямой:

где , и — единичный направляющий вектор прямой. Переменная .

Проекция функции на данную прямую есть функция одной переменной :

причем ). Тогда из определения (3) следует, что

Для трехмерного пространства когда получим,

где — углы, образованные вектором

с осями координат. Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Находим в точке a по формуле (4). Для этого дифференцируем функцию вида

как сложную функциюот при . Получим

Производная n-мерной функции в точке в направлении единичного вектора вычисляетсяаналогично.Получим

Таким образом геометрический смысл производной по направлению функции двух переменных следующий:

Рис.10

На рис. 10 изображена поверхность , точка и вектор

Проведем числовую ось через точку параллельно вектору . Начало отсчета на этой оси выберем в точке . Положение любой точки на оси определяется числом . Проведем плоскость через ось параллельно оси . Плоскость пересекает график функции по кривой(АВ), изображенной на рис. 10. Эта кривая является графиком функции

Касательная (MN) к графику функции в точке образует с положительным направлением оси некоторый угол . Получим