Нормаль и касательная плоскость к поверхности

Пусть дана некоторая поверхность, A — фиксированная точка поверхности и B — переменная точка поверхности, — фиксированный вектор.

Обозначим j = j (M) — угол между векторами и (рис. 11).

Рис.11

Ненулевой вектор

называется нормальным вектором к поверхности в точке A, если

Точка поверхности называется обыкновенной, если в этой точке выполняются два условия:

1) частные производные непрерывны;

2) .

При нарушении хотя бы одного из этих условий точка поверхности называется особой точкой поверхности.

Теорема 1. Если — обыкновенная точка поверхности , то вектор

является нормальным к этой поверхности в точке .

Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке.

Канонические уравнения нормали можно представить в виде

Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.

Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:

Если точка поверхности является особой, то в этой точке нормальный к поверхности вектор может не существовать, и, следовательно, поверхность может не иметь нормали и касательной плоскости.