Скалярное поле

Определение 1. Пусть множество (или все ). Говорят, что на Xзадано скалярное поле , если каждой точке в трехмерном пространстве (или на плоскости)[1] поставлено в соответствие некоторое определенное число, т.е. скалярное поле - это соответствие (X, .

Физические скалярные поля, например, поля температур, плотностей, потенциалов, не зависят от выбора системы координат, а зависят только от точки ивремени (если зависят от времени то поля нестационарные).

Если в пространстве (или на плоскости) задана прямоугольная декартова система координат, то скалярное поле есть функция трех (двух) переменных с областью определения .

График см. функции 2–х переменных (плоского скалярного поля) является поверхность.

Другой способ графического представления — с помощью линий уровня.

Определение 2.Линией уровня скалярного поля называется множество точек плоскости, в которых функция принимает значение , т.е. линия уровня определяется уравнением .

Трехмерное скалярное поле можно представить графически с помощью поверхностей уровня.

Определение 3.Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства, в которых функция принимает значение , т.е. поверхность уровня определяется уравнением .

Например, линии (поверхности) уровня поля температур называются изотермами (изотермическими поверхностями), поверхности уровня потенциала электростатического поля называются эквипотенциальными.

Примеры:

Построить линии уровня плоских скалярных полей если

1)

2)

3)

Решение: Принимая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

1) Построив эти линии в прямоугольной системе координат получим, прямые параллельные биссектрисе 2-го и 4-го координатных углов (рис. 5).

Рис. 5

2) Построив их в плоскости получим, концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 6).

Рис.6

3) Эти линии представлены параболами с центром в начале координат и симметричные оси (рис. 7).

Рис.7