Формула Ньютона - Лейбница

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ a, b ]. Если , то функция f (x) также интегрируема на любом отрезке [ a, x ]. Если изменять верхний предел, не выходя из отрезка [ a, b ], то величина интеграла будет изменяться, т. е. интеграл с постоянным нижним пределом a и переменным верхним пределом x есть функция верхнего предела. Обозначим эту функцию Ф (x):

. (8)

Замечание. Для удобства переменная интегрирования здесь обозначена буквой t, так как буквой x обозначен верхний предел интегрирования.

Интеграл (8) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Сформулируем основную теорему дифференциального и интегрального исчисления, устанавливающую связь между производной и интегралом.