Интегрирование методом подстановки

Суть метода заключается в том, что мы вводим новую переменную, выражаем подынтегральную функцию через эту переменную, в результате приходим к табличному (или более простому) виду интеграла.

Очень часто метод подстановки выручает при интегрировании тригонометрических функций и функций с радикалами.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Введем новую переменную . Выразим х через z:

Выполняем подстановку полученных выражений в исходный интеграл:

Из таблицы первообразных имеем .

Осталось вернуться к исходной переменной х:

Ответ:

При интегрировании функций с иррациональностью вида , где m, n, p – рациональные числа, важно правильно выбрать выражение для введения новой переменной. Смотрите рекомендации в разделе интегрирование иррациональных функций.

Очень часто метод подстановки используется при интегрировании тригонометрических функций. К примеру, использование универсальной тригонометрической подстановки позволяет преобразовать подынтегральное выражение к дробно рациональному виду.

Метод подстановки позволяет объяснить правило интегрирования .

Вводим новую переменную , тогда

Подставляем полученные выражения в исходный интеграл:

Если принять и вернуться к исходной переменной х, то получим