Интегрирование тригонометрических функций

Множество задач сводится к нахождению интегралов трансцендентных функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.

· Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Из таблицы первообразных сразу заметим, что и .

Метод подведения под знак дифференциала позволяет вычислить неопределенные интегралы функций тангенса и котангенса:

· Поясним, как были найдены формулы и , находящиеся в таблице первообразных.

Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.

Воспользуемся методом подстановки:

Пришли к задаче интегрирования иррациональной функции. Здесь нам также поможет метод подстановки:

Осталось провести обратную замену и t = sinx:

· Отдельно хочется остановиться на интегралах, содержащих степени тригонометрических функций, вида .

Подробно о принципах их нахождении можете ознакомиться в разделеинтегрирование с использованием рекуррентных формул. Если изучите вывод этих формул, то без особого труда сможете брать интегралы вида , где m и n – натуральные числа.

· Когда тригонометрические функции идут в комбинациях с многочленами или показательными функциями, то применяется метод интегрирования по частям. В этом разделе даны рекомендации для нахождения интегралов , .

· Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.