Частные производные

Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y²,u=xy+z² и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z = f (x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y²+4x²<1 с полуосями, а =0,5 и в =1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w = f (x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z = f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z = f (x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z =4- x ²- y ² является параболоид.

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

2 .Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x₁,x₂,…x_n) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…x_n⁰) любым образом, если для всякого сколь угодно малого >0 существует такое число >0, что из условия < , где - расстояние между точками М и М₀, следует < .

Обозначается:

А .

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения и . Получим приращение функции z=f(x,y). Если

, (1)

т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем x₀+ y+ -f(x₀,y₀) и положим x₀₊ x=x, y₀+ ,то выражение(1) можно записать в виде

f(x,y)=f(x ₀,y₀), (2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.

Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

.

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x²e ^x-2y.

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Функции нескольких переменных. Основные определения и свойства.

Рассматривается множество . Если определено правило, по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое число (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = { u } – множеством значений. Часто функцию u = F (x) называют отображением

При n = 2 уравнение F (x,y) = C задает линии уровня поверхности z = F (x,y), а при n = 3 уравнение F (x,y,z) = С – поверхности уровня.

Задание ФНП может быть неявным: F (x,u) = 0 или параметрическим .

Примеры. Поверхности 2 – го порядка.

Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:

Вместо условия можно писать .

Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д.

Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к х^о может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.

Геометрический смысл функции 2-х переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью, но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.

С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:

Дифференциалы высших порядков.

Определение 1. Дифференциал от первого дифференциала функции называется вторым дифференциалом: Аналогично определяются дифференциалы более старших порядков.

Вычислим второй дифференциал функции двух переменных . При этом будем считать, что дифференциалы независимых переменных dx и dy – величины постоянные (т.е. не зависят от т.(х,у) и не меняются при вычислении каждого последующего дифференциала).

.

Не трудно видеть, что второй дифференциал представляет собой квадратичную форму от

переменных dx и dy. Матрица этой квадратичной формы есть матрица Гессе, т.е.

d ² z = (dx,dy)Г(dx,dy) ^T (см. раздел «Линейная алгебра», квадратичные формы). Кроме того,

второй дифференциал можно записать в символическом виде:

Можно показать, что в общем случае дифференциал 2 – го порядка функции u = F (x) равен

Дифференциал m – го порядка равен

Производная по направлению. Градиент.

Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т. М ₀ с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u (x, y, z) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Определение 2. Градиентом функции u (х ₁, х ₂,…, х _n) называется вектор, координаты которого равны частным производным функции u:

В нашем случае Таким образом, производная по направлению равна:

, где φ − угол между направляющим вектором прямой и градиентом функции в данной точке. Отсюда следует геометрический и физический смысл градиента функции (необходимо помнить, что скорость изменения функции вдоль прямой l):

1. Градиент ортогонален касательной плоскости к поверхности уровня в данной точке.

2. Градиент направлен в сторону максимального роста (изменения) функции в т. М ₀.

{Этот максимум достигается при φ = 0, т.е. при }

3. Величина наибольшей скорости роста функции равна .