Решения уравнения Хилла

Более точный, метод исследования устойчивости первой формы колебаний предполагает использование уравнения Хилла. Для этого запишем уравнение в вариациях таким образом:

Решения, соответствующие границам устойчивости, имеют период T и 2T, где T– период коэффициентов уравнения в вариациях. Эти решения будем искать в виде

Подставляя разложения поочередно в вариациях и группируя члены при различных гармониках, получаем системы однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений. Приравнивая определители этих систем нулю, получим уравнения для определения тех значений параметров системы, которые определяют границы областей устойчивости и неустойчивости связанной формы колебаний.

Устойчивость локализованной формы колебаний. Устойчивость второй формы колебаний исследовалась с использованием уравнения Хилла. Для этого использовалось следующее уравнение в вариациях:

где u и θ – вариации переменных ˜ x и ˜ θ соответственно. Решения, соответствующие границам устойчивости, будем искать в виде

(2.5)

Рисунок 2.1 – Границы областей устойчивости /неустойчивости локальной формы колебаний

Границы областей устойчивости и неустойчивости второй формы колебаний представлены на рис. 2.1. Заметим, что область неустойчивости этой формы колебаний, благоприятной для виброгашения основной линейной подсистемы, чрезвычайно узкая.