Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Решения уравнения МатьеСогласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: , где имеет период . При эти решения являются периодическими с периодом и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: . Функции Матье можно представить в виде сумм косинусов или синусов:
где величины являются функциями от величин в уравнении Матьё. Значения можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены. Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса , коэффициент упругости и коэффициент затухания . Если эти коэффициенты зависят от времени, и , то уравнение движения имеет вид (3.2) Сделаем замену переменной времени → , где , что приводит уравнение (1) к виду (3.3) Сделаем еще одну замену → : (3.4) Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием: (3.5) Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, достаточно рассмотреть уравнение движения вида (3.6) Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты , аналитическое решение уравнения в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости уравнение является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения. 1. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение имеет вид (3.7) Где — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты , постоянная — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что . Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда (3.8) 2. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение имеет вид (3.9) Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов , происходит в случае, когда (3.10) В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид (3.11) где , и . В случае, когда и ограничиваясь первым порядком разложения по , получим, что (3.12) Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний и её удвоенного значения , — не случаен. Можно показать, что в случае уравнения (3.13) Параметрический резонанс имеет место, когда (3.14) Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника , а ширина резонанса равна . Важно также, что при наличии трения, в уравнении (3.15) Имеет место явление параметрического резонанса не при любых , а лишь при тех . Таким образом, при наличии трения что позволяет надлежащим выбором параметров , , и , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.
|