Анализ устойчивости форм колебаний

(3.16)

первой формы колебаний, имеет вид

(3.17)

где x и v – вариации переменных ˜ x и ˜ θ соответственно. Уравнение после некоторых алгебраических преобразований примет вид известного уравнения Матье:

(3.18)

Рисунок 3.3 - Преобразование систем координат

Границы областей устойчивости и неустойчивости уравнения Матье хорошо известны.

Рисунок 3.4 – Границы областей Рисунок 3.5 – Траектория

устойчивости / неустойчивости ответвляющего движения

На рис. 3.4 представлены границы областей устойчивости и неустойчивости, полученные с использованием уравнений Матье (светлая линия) и Хилла (темная линия). Можно заметить, что уравнение в вариациях в форме уравнения Матье пригодно только для довольно малых амплитуд колебаний. Во внутренней области наблюдаются неустойчивые движения. Потеря устойчивости первой формы влечет за собой переход к другим формам колебаний. При ветвлении появляется пара новых форм колебаний, которые также являются нелокальными. Траектории их в области неустойчивости первой формы колебаний – траектории ответвляющихся движений – изображены на рис. 3.5.