Методы выделения областей устойчивости

Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы, если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когда часть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужно выбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либо дополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимость определения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространстве параметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров.

Область устойчивости – это множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить, используя критерии устойчивости.

Если часть корней характеристического уравнения находится на мнимой оси, а остальные корни — в левой полуплоскости, то считают, что система находится на границе устойчивости. Значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными.

При использовании алгебраических критериев нужно исходить из условия, что система находится на границе устойчивости, если часть коэффициентов и определителей равна нулю, остальная часть – больше нуля. Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы на границе устойчивости: а ₀=0; а _n=0; =0.

После нахождения варьируемых параметров из этих уравнений нужно проверить остальные неравенства, входящие в условие устойчивости. Нужно, чтобы они были больше нуля или равны нулю при найденных значениях варьируемых параметров. Тогда найденные значения будут граничными.

Поэтому для определения граничных значений варьируемых параметров нужно приравнять нулю наиболее критичные коэффициенты и определители.