Понятие о D-разбиении пространства коэффициентов характеристического уравнения

Если при значениях каких-либо двух коэффициентов характеристического уравнения в плоскости корней имеется k корней левых и корней правых, то, изменяя значения коэффициентов (например, и ), получим определенную кривую на плоскости коэффициентов, ограничивающую область, каждая точка которой характеризует указанное расположение корней относительно мнимой оси. Эту область обозначим (рис. 1.4).

Число корней может иметь любое целое значение, поэтому в плоскости коэффициентов можно указать области , соответствующие разным значениям . Например, при степени можно рассматривать области ; ; ; ; . Из этих областей только последняя является областью устойчивости.

Рисунок 1.4 - Области распределения корней

Разбиение пространства коэффициентов на области устойчивости и неустойчивости называется D -разбиением. Мнимая ось в плоскости корней есть отображение границы D -разбиения в плоскости коэффициентов (рис. 4). Чтобы определить границу D -разбиения, надо заменить в характеристическом уравнении на и изменять частоту от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Если требуется оценить влияние на устойчивость только одного параметра, а значения остальных параметров заданы, целесообразно ввести вместо этого параметра комплексную величину, вещественная часть которой равна исследуемому параметру.

Пусть параметр входит в характеристическое уравнение

, или (1.13)

В качестве может быть принята постоянная времени или коэффициент усиления любого звена системы. Полагаем временно, что – комплексное число. При подстановке из (13) получим

. (1.14)

Придавая различные значения , строим кривую, отображающую мнимую ось комплексной плоскости корней, т. е. границу -разбиения (рис. 5).

Рисунок 1.5 - Граница D-разбиения

Кривую достаточно построить в пределах , а затем дополнить зеркальным отображением. Далее необходимо наметить предполагаемую область устойчивости . Для этого применяют правило штриховки: границей в плоскости корней является мнимая ось, и при движении по ней от до область корней устойчивой системы располагается слева. Соответственно этому в плоскости на D-кривой необходимо отметить направление движения в диапазоне частот и также заштриховать левую часть кривой. Так как по физическому смыслу есть вещественная величина, то рассматриваются лишь те отрезки вещественной оси, которые лежат в области, окруженной внутренней штриховкой.

Для каждой области указывают распределение корней. Для этого полагают и находят корни характеристического уравнения . Полученное распределение корней считают заданным и наносят на плоскость в области начала координат. Если в плоскости при движении от одной точки к другой пересекается D-кривая и при этом происходит переход с заштрихованной стороны на не заштрихованную, то в плоскости корней один корень пересекает мнимую ось. Если штриховка двойная (например, в точке пересечения кривых), то мнимую ось пересекают два корня. Так находится область плоскости , соответствующая расположению всех корней в левой полуплоскости. Далее выбирают из этой области какое-либо значение и проверяют устойчивость по любому критерию.