Екінші түрдегі қисықсызықты интеграл. Грин формуласы

Екінші түрдегі қисықсызықты интеграл. Ω облысы беріліп, Р (x,y) және Q(x,y) ф-ры Ω облысында ан-ған және үзіліссіз болсын.

γ (t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b) қисығы үзіліссіз дифф-нып, әр t [ a, b ] үшін γ (t) C Ω кірістіруі орындалсын.

w (x,y)=P(x,y)dx+ Q(x,y)dy дифф-дық формасының γ қисығы бойынша екінші түрдегі қисықсызықты интегралы деп (1)

саны аталады да, ол не қысқаша (2*)түрлерінде белгіленеді.

Грин формуласы. 1) Мәселенің қойылуы.Шекарасы тұйық жай қисығы болатын Жордан бойынша өлшенетін Ω облысы берілгенболсын.

Интеграл туралы сөз қозғасақ,онда γ = Ω қисығында қисықсызықты,ал Ω жиынында екі еселіинтеграл анықталған еді.Бұл интегралдар мынадай

(1)

байланыста. (1) теңдігі Грин формуласы деп аталады.

Сонымен (1) теңдігіндегі таңбаны бағытты көрсету арқылы былай

(2)

анықтап,сол жайт расында да орындалады.

1-теорема (Грин формуласы). [ a,b]x[A,B] тіктөртбұрышында P(x,y) және Q(x,y) функциялары анықталып, дербес туындыларымен бірге сол жиында үзіліссіз болсын.

[a,b] сегментінде анықталған және үзіліссіз дифф-тын А сегментінде анықталған және үзіліссіз дифф-тын а функциялары үшін

=

= (3)

жиындар теңдігі орындалсын.Онда (3) теңдігі бойынша анықталған тұйық облысы мен бағытталған қисығы үшін

теңдігі орындалады.