Екі еселі интегралды қайталанған интегралдарға келтіру. Фубини теоремасы

Тh: ƒ(x,y) функциясы A=[a,b]*[c,d] тіктөртбұрышында Риман бойынша интегралдансын. Онда әр a≤x≤b үшін = ƒ(x,y) функциясының [c,d] сегментіндегі төменгі және жоғарғы интегралдарына сәйкес (x)= (x,y)dy және (x)= (x,y)dy (1) функцияларының әрқайсысы [a,b] сегментінде интегралданып,

= (x,y)dy]dx (2) және

= (x,y)dy]dx (3) теңдіктері орындалады.

Дәлелдеуі: Әуелі ={a= ≤ ≤…≤ =b} және ={c= ≤ ≤…≤ =b} бөлшектеулері бойынша құрылған А тіктөртбұрышының P=() бөлшектеуі үшін L(ƒ,P)≤L(, ) (4) болатынын дәлелдейік.

L(ƒ,P)= (ƒ)Δ Δ ,

L(, )= ()Δ . Әр xϵ[ , ] үшін ƒ(x,y)= (y) белгілеуін ескереміз. Демек, (ƒ)Δ саны (x) функциясының [ , ] сегментіндегі төменгі шекаралары және де шекараларының бірі ғана, ал () инфимумы төменгі шекараларының ең үлкені болғандықтан, (ƒ)Δ ≤ = ().

Сондықтан

L(ƒ,P)= (ƒ)Δ ) Δ ≤ ()Δ = L(, ), яғни (4) дәлелденді. Жоғарғы қосындылар үшін U()≤U(ƒ,P) (5) теңсіздігі де осылай дәлелденеді. Жоғарғы интеграл төменгі интегралдан әрқашанда кем болмайды, сондықтан (1) бойынша әр xϵ[ , ] үшін (x) ≤ (x) ≤sup (x)= (). Сөйтіп, () ≤ (). Әр i үшін бұл теңсіздікті Δ ≥0 санына көбейтіп, сонан соң сол теңсіздіктердің бәрін қосып,

U(, )= ()Δ ≤ ()Δ =U() (6) теңсіздігіне келеміз. Әрқашанда орындалатын L(, )≤U(, ) теңсіздігіне қоса (4),(5),(6) теңсіздіктері бойынша әр , P= ) бөлшектеулері үшін

L(ƒ,P) ≤ L(, ) ≤ U(, ) ≤ U() ≤ U(ƒ,P) (7) демек

0≤ U(, ) - L(, ) ≤ U(ƒ,P) - L(ƒ,P) (8).

Бұдан интеграл анықтамасы мен интегралдану критерийлері бойынша дәлелдеу керек болатын (2) теңдігіне келеміз.Теорема шарты бойынша ƒ(x,y) функциясы А жиынында Риман бойынша интегралданады, демек, екі айнымалы функция интегралдануының критерийі бойынша ε оң саны үшін 0≤U(ƒ,P*) - L(ƒ,P*)<ε болатындай Р*=( *, *) бөлшектеуі табылады. Демек, (8) бойынша 0≤ U(, *) - L(, *) ≤ ε, сондықтан бір айнымалы функция интегралдануының критерийі бойынша (x) функциясы [a,b] сегментінде интегралданады. Енді (2) теңдігін дәлелдейік. Интеграл анықтамасы мен (7) бойынша әр ε оң саны үшін dxdy-ε≤L(ƒ, )≤L(, )≤ (x)dx≤U(, )≤U(ƒ, )< dxdy + ε болатындай =(, ) бөлшектеуі табылады. Сол себептен dxdy - (x)dx |< ε, ал бұдан (2) теңдігі шығады. (3) теңдігі дәл осы әдіспен дәлелденеді.