Жордан өлшемді жиындар үшін екі еселі Риман интегралы. Қасиеттері

Жазықтықта шенелген Ω жиыны беріліп нақты мәнді функциясы Ω жиынында анықталсын. Мақсатымыз - Ω жиыны бойынша алынған

(1)

Интегралын анықтау. Ω жиыны үшбұрыш,дөңгелек т.б.фигуралар болу мүмкін.

(1)түріндегі интегралдың анықтамасы А тіктөртбұрышы бойынша анықталған Риман интегралына былай келтіріледі. Ω⊂R² Жордан бойынша өлшенетін жиын болсын. Ω⊂А болатындай А тіктөртбұрышын алайық. R² жиынында А жиынында да f_Ω функциясын былай анықтайық:

f_Ω(x,y)= (2)

мұндағы теңдікті f_Ω(x,y)=f(x,y)X_Ω(x,y) көбейтінді түрінде бейнелеуге болады.

Егерде dxdy (3)

Интегралы бар болса, онда f(x,y) функциясы Ω жиынында Риман бойынша интегралданады, (3) санын функцмясының Ω жиыны бойныша алынған интегралы деп,(1)символымен белгілейді.

Ал f_Ω(x,y) функциясы А жиынында интегралданбаса, онда функциясы Ω жиынында интегралданбайды дейді.

Ω жиынында =1 тұрақты функциясы интегралдануы үшін Ωжиының Жордан бойынша өлшенетін жиын болуы қажетті де сонда

Теңдігі орындалады. Сол себептен де (1) интеграл анықтамасына Ω жиыны Жордан бойныша өлшенуі туралы деп қойылған.

1. Сызықтық қасиеті

Егер және функциялары Жордан бойынша өлшенетін жиынында интегралданса, яғни

_Ω

интегралдары бар болса, онда әр с₁ және с₂ нақты сандары үшін с₁ _Ω және с₂ _Ω функциялары, сонымен бірге олардың қосындысы да А тіктөртбұрышында интегралданып

_{Ω Ω Ω Ω Ω Ω}

2. монотондық қасиеті

Егер Жордан бойынша өлшенетін өлшенетін жиынында интегралданатын және функциялары беріліп, әр үшін болса, онда

теңсіздігі орындалады.

Расында да, болғанда, _Ω болып,

_{Ω Ω}

болады, ал болғанда _Ω болып,

_{Ω Ω}

болады, демек, әр үшін

_{Ω Ω}

Сондықтан

_{Ω Ω}

Сондай-ақ _Ω = _Ω болғандықтан,

_{Ω Ω Ω}

4 теорема. Жазықтықта Жордан бойынша өлшенетін жиыны мен оның Жордан бойынша өлшенетін жиындарына жіктеу берілсін. Онда Ω жиынында анықталған f(x) шенелген функциясы Ω жиынында интегралдануы үшін оның әр (k=1,…,N) жиынында интегралдануы қажетті де жеткілікті. Сонда

= (1)

Теңдігі орындалады.