Беттік интегралдар

Жазықтықта Жордан бойынша өлшенетін тұйық жиыны беріліп, ашық облысында анықталған және үзіліссіз дифференциалданатын

Е: r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) фунциясы беріліп, сәйкестігі өзара бірмәнді болсын.

S = r( бетінде F(x,y,z) сандық функциясы анықталып, S жиынында S бойынша үзіліссіз болсын.

Егерде қайсыбір I нақты саны мен кез келген саны үшін жиынының Жордан бойынша өлшенетін тұйық облыстары бойынша анықталған

(1)

Болатындай кез келген жіктелуі мен кез келген () нүктелеріүшін:

болатындай оң саны табылса, яғни:

(2) болса, онда I саныF(x,y,z) функциясының S() беті бойынша алынған интегралы деп аталып,

dS (3)

Символымен белгіленеді S беті XOY жазықтығында жатқан x(u,v) = u, y(u,v) = v, z(u,v) болғандықтан S = жиынында айналғанда, (3) интегралының анықтамасы

(4)

Екі еселі Риман интегралының анықтамасына айналады. Расында да

F(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) = F(u,v,0)

Болып, (3) теңдігі

Теңдігіне айналады.

Мысалы: z = f(x,y)((x,y) )айқын түрде берілген S беті үшін:

Үзіліссіз дифференциалданатын және әр(u,v) үшін * болатындай r(u,v) екі жақты беті беріліп, түріндегі өзара бірмәндік сәйкесте болатын кеңістіктегі r( жиынында үзіліссіз F(x,y,z) сандық функциясы берілсін. S=r( бетінде және ориентацияларына сай

)dS (1)

)dS (2)

екі интегралын анықталық.

Бұл анықтамалар бірінші түрдегі беттік интегралдың анықтамасында dS орнына оның XOY жазықтығына проекциясы болатын dxdy алынып және сол алмастыру ) теңдігі бойынша жүргізілді деп елестетуге болады.(суреттен). Екінші түрдегі интеграл мәні S бетінің ориентациясына тәуелді:(n ⃗ k ⃗) + (- n ⃗ k ⃗) = , демек,

cos(n ⃗ k ⃗)=cos( n ⃗ k ⃗))=cos *cos(- n ⃗ k ⃗)= болып, (1),(2) бойынша

)dS

Сөйтіп, екінші түрдегі беттік интегралда беттің бір жағынан екінші жағына өткенде оның таңбасын қарама қарсы таңбаға ауыстыру керек. Дәл айтқанда өткенде, интеграл мәнін -1 санына көбейту керек.