Задача №10. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками

Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции (0 < х < l) имеют вид

Рис.3 Рис.4

Стационарное уравнение Шредингера в одномерном случае имеет вид:

. (18)

В области 0 < х < l потенциальная энергия равна нулю U = 0 (рис. 3), тогда

Введя следующее обозначения , получим

. (19)

Полученное дифференциальное уравнение хорошо известно из теории колебаний. Решение такого уравнения имеет вид:

. (20)

За пределами ямы y(x) = 0. Поскольку функция y(x) должна быть непрерывна, то она должна обращаться в ноль на границах ямы y(0)= y(l)=0. Следовательно,

, где (n = 1, 2, 3…). (21)

(Случай n = 0 отпадает, потому что тогда y @ 0, т.е. частица нигде не находится).

Учитывая введенное нами обозначение: , откуда

(n = 1, 2, 3…)

т.е. спектр энергии дискретный. Подставив (21) в (20), получим

Для нахождения коэффициента А воспользуемся условием нормировки

.

На концах интервала (0, l) подынтегральная функция равна нулю, поэтому значение интеграла можно представить как произведение среднего значения квадрата синуса на ширину ямы.

,

откуда

Т.е. собственные функции в данном случае имеют вид

n = 1, 2, 3…