Задача №13. Частица массы m с энергией равной Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий потенциальный барьер высотой U

Частица массы m с энергией равной Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий потенциальный барьер высотой U., причем Е > U (рис.7) Для областей I и II: а) запишите уравнение Шредингера б) представьте графически качественный вид ψ – функций. Найти коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности этого барьера.

Для данного барьера

.

На барьер падает частица массы m энергия которой Е, исходя из волновых представлений на барьер падает дебройлевская волна

Рис. 7 .

Поскольку у всех трех волн (падающей, отраженной и прошедшей) частота одинакова, т.к. , то ограничимся рассмотрением только координатной части, а именно y (x).

Запишем уравнения Шредингера для областей I и II

где ; (22)

где . (23)

Решением этих уравнений будут следующие функции:

; (24)

; (25)

Падающая волна характеризуется амплитудой a ₁, отраженная – b₁, прошедшая – а₂. Поскольку в области x > 0 имеется только прошедшая волна, то b₂ = 0.

Из условия непрерывности для y и y ^/ в точке x = 0 следует

,

.

Решая совместно эти уравнения, получим

, . (26)

Обычно y - функция нормируется таким образом что а₁ = 1, тогда

.

Качественный вид y - функций в областях I и II показан на рис. 8

Рис. 8

Для определения интересующих нас коэффициентов отражения R и прозрачности D введем понятие потока плотности вероятности r. Скорость распространения вероятности такого потока совпадает со скоростью частицы

.

Таким образом v ~ k и плотность потока вероятности пропорциональна величине kψψ^*. В соответствии с видом ψ – функции для падающей, отраженной и прошедшей волн имеем

r ~ r ^/ ~ r ^// ~ .

Учитывая (26) получим следующие выражения для коэффициентов R и D:

, .

Отсюда следует, что R + D = 1, что и должно быть по определению. Анализ выражений, полученных для R и D, показывает, что значения R и D не зависят от направления движения частицы. Заметим, что в классическом случае при Е>U R = 0.