Задача №14. Частица массы m падает слева на потенциальный барьер высотой U

Частица массы m падает слева на потенциальный барьер высотой U. (рис. 7). Энергия частицы равна Е, причем Е > U. Найти эффективную глубину х_эф проникновения частицы под барьер, т.е. расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности P нахождения частицы уменьшается в е раз. Вычислить х_эф для электрона, если U - E = 1,0 эВ.

В данном случае вид уравнений Шредингера и ψ – функций будет совпадать со случаем, когда Е > U (см. задача №13 формулы (22) – (25)), однако k₂, будет чисто мнимым

,

где i – мнимая единица, ,

тогда плотность вероятности P(x) местоположения частицы в области II будет равна

.

Плотность вероятности нахождения частицы в точке х = 0

.

Отсюда

.

Качественный вид y - функций в областях I и II показан на рис. 8.

Т.к. эффективная глубина проникновения частицы определяется как расстояние, на котором плотность вероятности местонахож-

Рис. 8 дения частицы уменьшается в е раз то

.

Отсюда

.

Подставив численные значения, получим .