Тригонометрическое неравенство tg(t)≤a.

Рассмотрим способ решения тригонометрического неравенства с тангенсом на примере неравенства tg(t)≤1.

период тангенса равен π Найдем сначала все решения данного неравенства, принадлежащие промежутку (-π/2; π/2), а затем воспользуемся периодичностью тангенса. Для выделения всех точек P_t правой полуокружности, значения t которых удовлетворяют данному неравенству, обратимся к линии тангенсов. Если t является решением неравенства, то ордината точки T - луч AT (см. рисунок ниже). Множество точек P_t, соответствующих точкам этого луча, - дуга l, выделенная на рисунке жирным. Следует отметить, что точка P_t1 принадлежит рассматриваемому множеству, а P_t2 нет.

Найдем условие, при котором точка P_t принадлежит дуге l. t₁ принадлежит интервалу (-π/2; π/2), и tf(t)=1, следовательно t₁=arctg(1)=π/4. Значит t должно удовлетворять условию -π/2<t≤π/4. Все решения данного неравенства, принадлежащие промежутку (-π/2; π/2), таковы: (-π/2; π/4].

учитывая периодичность тангенса, приходим к окончательному ответу:

-π/2+πn<t≤π/4+πn, n - целое.

Вопрос 10.

Приращение функции

При сравнении значения функции f в некоторой фиксированной точке x₀ со значениями этой функции в различных точках x, лежащих в окрестности x₀, удобно выражать разность f(x) – f(x₀) через разность x – x₀, пользуясь понятиями «приращение аргумента» и «приращение функции».

Пусть x – произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки x₀. разность x – x₀ называется приращение независимой переменной (или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом,

Δx = x –x₀,

откуда следует, что

x = x₀ + Δx.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению

Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀),

откуда

f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.

При фиксированном x0 приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращение зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x).