Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Производная степенной функции.





 

Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова:


(xn)’=nxn-1 (1)

 

Формула производной функции х2 уже известна: (х2)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:


(x3)’=(x2⋅x)’= (x2)’x+ x2(x)’= 2x⋅x + x2⋅1=3 x2;

(x4)’=(x3⋅x)’= (x3)’x+ x3(x)’= 3x2⋅x+ x3⋅1=4x3.

 

Заметим теперь, что


(x2)’=2x2-1, (x3)’=3x3-1, (x4)’=4x4-1,

 

т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д.

Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4.

Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что


(xk)’=kxk-1.

 

Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно,


(xk+1)’=(xk⋅x)’=(xk)’⋅x + xk⋅(x)’= kxk-1⋅x + xk = (k+1) xk

 

Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции).

Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0


(x1)’=1⋅x1-1 = 1⋅x0 =1,

(x0)’=0⋅x0-1 = 0,

 

что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта.

Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m,, где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0:


 

В результате можно сделать вывод:

Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1)


(xn)'=nxn-1

 

Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференциремы в каждой точке своей области определения.

Вопрос 12.

Date: 2016-07-25; view: 364; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию