Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Понятие о непрерывности функции.
Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке (см формулу (1)). Функция
не определена при Δt= 0. Но для числа L = v0 — gt0 при уменьшении |Δt| разность vср(Δt) - L приближается к нулю. Именно поэтому мы писали vср(Δt) → v0 — gt0 при Δt→0. Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стремящемся к x0, если разность f(x) - L сколь угодно мала, т. е. |f(x) – L| становится меньше любого фиксированного hɬ при уменьшении |Δх|, где Δх = х—x0. (Значение х=x0 не рассматривается, как и в задаче определения мгновенной скорости.) Вместо х→ x0 можно, конечно, писать Δх→ 0. Нахождение числа L по функции f называют предельным переходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях. Первый случай — это предельный переход в разностном отношении Δf/Δx, т. е. нахождение производной. С этим пунктом мы познакопились в пункте производная. Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Если f(x) → f (х0) при х→ x0, то функцию называют непрерывной в точке х0. При этом f(x) - L = f (x) - f (х0) = Δхf; получаем, что |Δf| мало при малых |Δх|, т. е. малым изменениям аргумента в точке х0соответствуют малые изменения значений функции. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определения. На этом и основан способ построения графиков «по точкам», которым вы все время пользуетесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших случаях такое исследование проводят на основании определения Метод интервалов.
На свойстве непрерывных функций, рассмотренном ранее (его полное доказательство приводится в курсах математического анализа), основан метод решения неравенств с одной переменной (метод интервалов). Опишем его. Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f сохраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f в какой-либо одной точке из каждого такого интервала. Предельный переход.
Операция предельный переход служит новым средством нахождения неизвестных величин. Ею мы будем широко пользоваться. Выделим правила предельного перехода, которые доказываются в курсах математического анализа. Правило 1. Если функция f непрерывна в точке x0, то Δf→0 при Δx→0. Правило 2. Если функция f имеет производную в точке х0, то Δf/Δx→f'(x0) при Δx→0. Правила 1 и 2 сразу следуют из определений непрерывности функции f в точке х0 и производной в точке x0. Правило 3. Пусть f (x)→A, g{x)→B при x→x0. Тогда при х→x0 (т. е. при Δx→0): а) f(x) + g(x)→A + B; б) f(x)•g(x)→A•B; в) f(x)/g(x)→A/B (при B≠0).
Для непрерывных функций f u g А = f (х0), В = g (х0)
и эти правила означают, что сумма, произведение и частное непрерывных в точке хо функций непрерывны в точке х0 (частное в случае, когда g(x0)≠0). Правила предельного перехода широко используются при доказательстве непрерывности функций и выводе формул дифференцирования. Вопрос 13.
|