Определение. Арккотангенсом числа a называется такое число из интервала (0; π), котангенс которого равен a.

Вопрос 8.

Тригонометрическое уравнение cos(t)=a.

Рассмотрим уравнение вида cos(t)=a. Очевидно, что если |a| > 1, то данное уравнение не имеет решений, это следует из того, что функция косинуса может принимать значения только от -1 до 1.

Пусть |a| ≤ 1. Надо найти все такие числа t, что cos(t)=a. На отрезке [0; π] существует в точности одно решение уравнения, и этим решением является arccos(a).

Так как косинус - это четная функция, то на отрезке [-π; 0] уравнение cos(t)=a имеет так же одно решение (-1)*arccos(a). Таким образом, на отрезке [π; π] уравнение имеет два решения: arccos(a) и -arccos(a), которые совпадают при а=1.

Вследствие периодичности функции косинуса, все остальные решения отличаются от уже найденных на 2πn, где n - целое. Таким образом, общая формула для поиска корней уравнения cos(t)=a такова:

t=+/- arccos(a)+2πn, где n - целое, |a|≤1.

При a=1 числа arccos(a) и -arccos(a) совпадают, поэтому решения уравнения cos(t)=1 принято записывать в виде

t=2πn, n - целое.

Для уравнения cos(t)=-1 решение записывается так:

t=π+2πn, n - целое.

Для уравнения cos(t)=-0 решение записывается так:

t=&pi/2;+πn, n - целое.

Тригонометрическое уравнение sin(t)=a.

Рассмотрим уравнение sin(t)=a. Очевидно, что оно не имеет решений в случае, если |a|>1, так как |sin(t)|≤t для любого t.

Далее будем рассматривать случай, когда |a|≤1. На отрезке [-π/2; π/2] уравнение имеет в точности одно решение t₁=arcsin(a). На промежутке [π/2; 3π/2] функция синуса убывает и принимает значения от -1 до 1, следовательно, по теореме о корне, на этом промежутке уравнение имеет один корень, равный π - arcsin(a), это видно из рисунка ниже.

Таким образом, на промежутке [-π/2; 3π/2] уравнение имеет два решения, t₁=arcsin(a) и t₂=π - arcsin(a), которые совпадают при а=1. Учитывая периодичность синуса (период равен 2π), получим формулы для записи всех решений уравнения:

t=arcsin(a)+2πn,

t=π - arcsin(a) + 2πn, n - целое.

Эти две формулы можно объединить в одну:

t=(-1)^karcsin(a)+πk, k - целое.

Для уравнения sin(t)=1 решение записывается в виде:

t=π/2+2πn, n - целое.

Для уравнения sin(t)=-1 решение записывается в виде:

t=-π/2+2πn, n - целое.

Для уравнения sin(t)=0 решение записывается в виде:

t=πn, n - целое.

Тригонометрическое уравнение tg(t)=a.

При любом а на интервале (-π/2; π/2) имеется ровно одно такое число t, что tg(t)=a, это arctg(a). Поэтому уравнение tg(t)=a имеет на интервале (-π/2; π/2) единственный корень. Этот интервал имеет длину π, такому же числу равен и период тангенса. Следовательно, все остальные корни отличаются от найденного на πn, n - целое. Таким образом, решение уравнения tg(t)=a выглядит так:

t=arctg(a)+πn, n - целое.

Вопрос 9.