Уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнение вида приводится к однородному в случае с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых и . Пусть точка пересечения этих прямых, то есть, решение системы

Выполним замены переменных

Заметим dx = dt, dy = ds, следовательно, . Тогда исходное уравнение относительно переменных t и s становится однородным. Действительно, с учетом вышеприведенных положений имеем

.

Итак, введенные замены приводят к однородному уравнению. Если же указанные прямые не пересекаются, то есть,

тем самым .

Тогда

.

Далее, подстановкой это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Задача 5. Найти общее решение уравнения

(2x - 4y + 6) dx + (x + y - 3) dy=0.

Имеем

.

Решая систему

,

находим . Введем замены .

Тогда через переменные t и s уравнение перепишется

.

Итак, получилось однородное уравнение относительно новых переменных t, s.

Положим: . Тогда ; уравнение через переменные u, t имеет вид

(12)

или

.

Разделяем переменные

.

Интегрируя, получим

. При этом легко убедиться, что u = 1, u = 2 тоже являются решениями уравнения (12). Переходя к переменным s, t, имеем

. .

С учетом замен x = t + 1, y = s + 2 решение записываем через переменные x, y:

. (13)

Частным решениям u = 1, u = 2 соответствуют следующие решения через x, y: y = x + 1, y =2x;

Однако, решение y = 2x получается из (13) при c = 0. Поэтому c = 0 следует включать в качестве принимаемых ее значений. Тогда ответ можно записать так

y = x + 1.