Упражнения для самостоятельной работы

1. Найти область определения следующих функций

а) Ответ: Единичный круг с центром в начале координат, при этом также входит единичная окружность .

б) Ответ: Полуплоскость, расположенная над прямой

2. Найти частные производные функций

а)

Ответ:

б) Ответ:

в) Ответ: .

г) Ответ:

д) Ответ:

3. Проверить, удовлетворяет ли функция

уравнению

4. Найти полные дифференциалы функций

5. Вычислить приближенно

6.

7.Найти

Ответ: 0.

8. Найти

Ответ:

Ответ:

10. Найти dz, если x y z = x + y + z;

Ответ:

11. В точке М (1,0,-1) найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Ответ:

12. Найти Ответ: 0.

13. Найти

Ответ:

14. Найти

Ответ:

15. Найти grad z в точке М (2,1), если

Ответ:

16. Найти grad U в точке М (1,2,3), если U = x y z;

Ответ:

17. Найти производную функции в точке М (1,1) в направлении биссектрисы первого координатного угла.

Ответ:

18. Исследовать на максимум и минимум функции:

а) в точке М (1,0).

б) в точке М (4,-2).

19. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге

Ответ: Наибольшее значение Z =1 на границе круга в точках

20. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми x = 0, y = 0, x + y = 3.

Ответ: Наименьшее значение Z = -19 на границе в точке , наибольшее значение z = -1 на границе в точке