Однородные уравнения.

Функция называется однородной функцией n -го измерения относительно переменных x и у, если при любом l справедливо тождество

Уравнение называется однородным относительно x и у, если однородная функция нулевого измерения.

Заметим, что уравнение вида

будет однородным, если и однородные функции одного и того же измерения. Однородное уравнение можно привести к виду

Однородное уравнение интегрируется при помощи подстановки

Задача 4. Решить уравнение

Имеем однородное уравнение. Положим или . Отсюда Подставляя в исходное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные

Интегрируем

Или

Подставляя вместо u, получим общий интеграл исходного уравнения

Кроме того, sin u = 0 дают решения , уравнения Им в свою очередь соответствуют решения , исходного уравнения. При С = 0 из общего решения имеем , т.е. при , решения выделяются из общего решения. Однако, решения из общего решения не выделяются.

Ответ: ,