Формулы Тейлора и Маклорена!!!

Предположим, что имеет все произвольные до n+1 –го порядка включительно в окрестности . Найдём многочлен степени не выше n, такой, что , а , где : Итак

(1)

Естественно предположить, то «близок» к в некотором смысле.

Будем искать в форме многочлена по степеням с неопределёнными коэффициентами:

(2)

будем искать из условия (1). Предварительно найдём производные от

(3)

Подставляя теперь вместо и заменяя на , согласно (1), получим:

Подставляя теперь вместо в получим

(5)

Обозначим теперь через разность между :

и тогда или в развёрнутом виде

(6)

называют остаточным членом. Для тех значений , для которых мал, даёт приближённое представление .

Т.о. (6) даёт возможность заменить многочленом с точностью, определяемой .

Следующая задача – оценить при различных . Запишем в форме

,

где - некоторая функция, которую нужно определить. При фиксированных и имеет определённое значение .

Рассмотрим далее вспомогательную функцию от

Далее найдём

После сокращения получим

(*)

Итак, имеет производную для , причём и . Поэтому к применима т. Ролля: , в которой . Отсюда и из (*) следует, что

или

и тогда

остаточный член в форме Лагранжа. Т.к. заключено между и , то его можно представить в виде , где , и тогда можно записать в виде:

Формула

называется формулой Тейлора для .

Если в формуле Тейлора положить , то

(**) .

Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.

44. Разложение функций y=exp(x), y=sin(x), y=cos(x) по формуле Маклорена.

1. . В первую очередь найдём значения при

Подставляя эти значения в формулу (**) Маклорена, получим

«(**) .»

, где .

Если , то взяв , получим оценку остаточного члена

При , получается формула, позволяющая найти приближённое значение числа :

Здесь ошибка не превосходит или .

Отметим, что для остаточный член при .

Действительно

Т.к. - фиксированное число, . Введём обозначение При , и т.д., можно написать

Но есть const, не зависящая от n, а при

Следовательно, и

Т.о. для мы можем вычислить с любой степенью точности, взяв достаточно большое n.

2.

Подставляя теперь эти значения в формулу Тейлора, получим

.

Т. к .

Применим полученную формулу для , положив .

Оценим теперь остаточный член:

Следовательно, ошибка меньше чем или с точностью до .

3. .

,

(х – в радианах).