Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие точки перегиба функции!Рассмотри кривую , которая является графиком однозначной, дифференцируемой функции . Определение 1. Будем говорить, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой касательной, проведенной к любой точке из этого интервала. Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале , если все её точки лежат выше любой её касательной на . Кривая, обращённая выпуклостью вверх, называется выпуклой, а обращённая выпуклостью вниз – вогнутой. В этом разделе мы установим признаки, которые позволяют судить о направлении выпуклости графика на различных интервалах определения . Теорема 1. Если кривая выпукла на . Доказательство. Пусть . Проведём касательную к графику в точке с абсциссой . Теорема будет доказана, если все точки будут лежать ниже этой касательной. Т.е. ордината будет меньше ординаты у касательной при одном и том же значении . Как установлено ранее, уравнение касательной в точке имеет вид: или . Нас интересует знак разности , которую можно записать в виде: . Применяя т. Лагранжа к разности мы можем записать: (где С лежит между и ), или , и к разности производных опять применим ту же теорему , между и . Рассмотрим теперь случай . Тогда ; т.к. и и по условию теоремы , т.е. Теорема 1 доказана. Пусть теперь , тогда . В этом случае и , но . Таким образом мы доказали, что и ордината касательной больше ординаты графика , а это означает, что кривая выпукла, Теорема 1 доказана. Аналогично доказывается и Теорема 1’. Теорема 1’. Если , то кривая вогнута на . Геометрическая интерпретация. есть - угла наклона касательной в точке с абсциссой . Поэтому Если убывает при возрастании .
Если же возрастает при возрастании . Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба этой кривой. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею. Сформулируем теперь достаточные условия того, что данная точка является точкой перегиба. Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением . Если , или не существует, и при переходе через меняет знак, то точка кривой с есть точка перегиба. Доказательство. 1) при и при . Тогда, при кривая выпукла, а при - вогнута. Следовательно, есть точка перегиба. 2) Пусть теперь при и при , тогда при кривая вогнута, а при - выпукла. Следовательно, точка есть точка перегиба.
|