Признак возрастания и убывания функции!!!

Теорема 1) Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то f¢(x) неотрицательна на [a,b], то есть

f¢(x)³0, "xÎ[a,b], если f(x)­,

2) Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f¢(x)>0, "xÎ(a,b), Þ f(x) возрастает на [a,b].

Доказательство.

1-я часть. Пусть f(x)­ на [a,b]. Придадим x приращение D x и рассмотрим

т.к. f(x)­ Þ

f(x+Dx)>f(x), если Dx>0

f(x+Dx)<f(x), если Dx<0

Но в обоих случаях

и следовательно

, что и следовало доказать.

2-я часть. Пусть f¢(x)>0, " x(a,b). Рассмотрим x₁ и x₂, x₁>x₂, x₁,x₂Î[a,b]. По теореме Лагранжа f(x₁)-f(x₂)= (x₁ - x₂). По условию теоремы f¢(x)>0, x₁-x₂>0 и f(x₁)-f(x₂)>0 Þ f(x) возрастает.

Аналогично формулируется теорема для убывающей функции:

Теорема. Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], убывает на этом отрезке, то f¢(x)£0 на [a,b], то есть

f¢(x)£0, "xÎ[a,b], если

2) Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f¢(x)<0, "xÎ(a,b), Þ f(x) убывает на [a,b].

Геометрический смысл. Если f(x)­, касательная к кривой образует острый угол j с ОХ, или в некоторых точках угол j=0 Þ касательная параллельна оси ОХ, так как tgj³0. Если f(x)¯, угол j-тупой (или j=180^о в отдельных точках Þ параллельна оси ОХ), так как tg j= f ¢(x)£ 0.

Таким образом, теоремы позволяют судить о возрастании или убывании функций по знаку производных.