Исследование функций на экстремум с помощью формулы Тейлора!!!

Ранее мы показали, что если при может быть либо max, либо min, либо нет ни того, ни другого. Покажем, как в это случае может быть использована формула Тейлора.

Предположим, что при x=a

(1)

Пусть также f(x) имеет непрерывные производные до (n+1) -го порядка включительно в окрестности x=a. Запишем для f(x) формулу Тейлора, учитывая (1):

(2)

Т.к. непрерывна в окрестности x=a и , что при . При этом, если то и во всех точках интервала будет и если и . Перепишем (2) в виде:

(2’)

и рассмотрим различные возможные случаи.

1. n – нечётное

а) . Тогда в интервале , и т.к. . Т.к. чётное число и правая часть (2’) <0. Следовательно, точка максимума .

б) , т.к. точка минимума .

2. n – чётное

Тогда n+1 – нечётное, и имеет разные знаки при и .

Если h достаточно мало по модулю, то -я производная сохраняет знак во всех точках . Следовательно, имеет разные знаки при и , а это означает, что в нет ни максимума, ни минимума .

Таким образом, если при имеем: , и первая не обращающаяся в 0 производная есть производная чётного порядка, то в

имеет максимум, если и

имеет минимум, если .

Если же есть производная нечётного порядка, то не имеет ни максимума, ни минимума при . При этом

убывает, если

возрастает, если .

Пример. , найти максимум, минимум.

1) Критические точки

, порядок чётный и минимум .