Сызықтық нормаланған кеңістіктердегі компакт жиындар

Алдымен метрикалық кеңістіктегі жиынның компакт болуының анықтамасын берейік.

Анықтама. Х метрикалық кеңістігінде М жиыны берілсін. Егер М жиынының кез келген шексіз ішкіжиынын осы жиынның қайсыбір нүктесіне жинақталатын тізбекті табатын болсақ М Х кеңістігіндегі компакт жиын деп аталады.

Компакт жиынның тұйық ішкіжиыны да компакт жиын болады

Мысал келтірейік 1. X= бұл жиында R нақты сандар метрикалық кеңістігінің метрикасын, былай айтқанда алайық. Сонда бізде (Х,р) метрикалық кеңістігі пайда болады. Больцано – Вейерштрасс теоремасы бойынша Х жиыны немесе (Х,р)-компакт кеңістік, ал R кеңістігі компакт болмайды. Себебі R кеңістігінде М бірақ М жиынында ешқандай жинақталатын тізбек жоқ. Ал бірақ R кеңістігінде кез келген шектелген тұйық жиын Больцано – Вейерштрасс теоремасы бойынша компакт болады.

2.X=C[0,1]. Бұл кеңістік компакт емес, сонымен қатар С[0,1] шектелген тұйық компакт емес жиын бар

3. Х= Бұл компакт емес. Бұл кеңістікте шектелген тұйық компакт емес жиын бар. Бұл жиынға мысал ретінде бірлік шарды алуға болады

Ол үшін шарынан мынадай элементтерді алуға болады

бұл элементтер үшін

Сондықтан { тізбегі және ішкі тізбегі жинақталмайды.

Енді сызықтық нормаланған кеңістіктегі компакт жиындар туралы мәселелерді қарастырамыз. СНК – тер де метрикалық кеңістік болғандықтан ондағы компакт жиындар туралы тұжырымдар сызықтық нормаланған кеңістікте де сақталады. Сонымен қатар СНК – терінде кейбір ерекшеліктер бар солардың қайсыбірін қарастырайық.

Анықтама. Х метрикалық кеңістігіндегі кез келген шенелген және тұйық жиын компакт болса, онда Х мк-і локальді компакт деп аталады.

Енді берілген жиынның локальды компакт болуы туралы теореманы келтіреміз. Оны дәлелдеусіз атап өтеміз

Теорема. Х СНК-і локальды компакт болуы үшін оның шенелген өлшемді болуы қажет және жеткілікті.

С[0,1] кеңістігіндегі жиынның компакт болу критерийі:

1)М қайсыбір жиын болсын. X(t) мынадай шарттарды қанағаттандырсын: саны табылып

теңсіздігі

Барлық x(t) (үшін) және барлық t үшін орындалсын осы жағдайда М жиынындағы функциялар бірқалыпты шенелген деп аталады

2)М және x(t) мынадай шарттарды қанағаттандырсын:

саны табылып

теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген және x(t) функциясы үшін

Теңсіздігі орындалса, онда М жиынындағы функциялар теңдәрежелі үзіліссіз деп аталады

Теорема. (Арцела) берілсін. К жиынының салыстырмалы компакт болуы үшін x(t) функцияларының бірқалыпты шенелген және теңдәрежелі үзіліссіз болуы қажет және жеткілікті.

Қажеттілігі. К жиыны салыстырмалы компакт болсын. С[0,1] кеңістігінің анықтамасы бойынша K жиынындағы функциялар толық шенелген, демек олар бірқалыпты шенелген болады.

Енді x(t) функцияларының бірдәрежелі үзіліссіздігін дәлелдейміз. Берілген Е үшін шенелген сеть құрамыз: үзіліссіз болғандықтан [0,1]-де бірқалыпты үзіліссіз болады. Әрбір санын мынадай етіп аламыз

б = болсын

егер

Егер p(x, теңсіздігі орындалатындай етіп тапсақ, онда

теңсіздігі орындалады. Е кез келген сан болғандықтан теңсіздігі нүктелеріне және x(t) функциясына тәуелді емес. Демек x(t) функциялары теңдәрежелі үзіліссіз функциялар болады

Дәл осылайша x(t) функцияларының бірқалыпты шенелгендігі және теңдәрежелі үзіліссіздігінің жиынының салыстырмалы компакт болатынын дәлелдеуге болады. Оны біз дәлелдеусіз атап өтеміз.

Жоғарыда келтірілген теореманы былайша жалпылауға болады Х және У екі метрикалық кеңістік болсын және F (x бейнелеулер жиыны болсын.

Х және У берілген екі метрикалық кеңістік болсын. Сонымен қатар Х бейнелеулер берілсін. бұл бейнелеулердің жиыны F деп белгілейік: F сонымен қатар бейнелеуі де берілсін

Анықтама: Егер

Теңсіздігі орындалса (мұндағы жалпы алғанда f ке тәуелді онда f бейнелеуі шенелген деп аталады.

Ал егер

P(f(

Теңсіздігі үшін орындалса, онда f бейнелеуі бірқалыпты үзіліссіз деп аталады.

М(х,у) Х кеңістігін У кеңістігіне бейнелейтін барлық шенелген бейнелеулердің жиыны болсын

Бұл жиынды

Теңдігі арқылы метрикалық кеңістікке айналдыруға болады және келтірілген p(f, үшін метрикалық кеңістіктің барлық аксиомалары орындалатынын жеңіл көруге болады. М(х,у) кеңістігіндегі жинақтылық бейнелеулер тізбегінің f(x) бейнелеуіне жинақтылығы болады.

Тұжырым. Егер У-толық кеңістік болса, онда М(х,у) кеңістігі де толық болады