Абстракт Гильберт кеңістігі

n- өлшемді нақты (комплексті) векторлық кеңістігінде векторларды қосу, оларды нақты (комплексті) санға көбейту амалдарынан басқа векторларды скалярлық (ішкі) көбейту амалы да бар.

Дәлірек айтқанда

Векторларының скалярлық көбейтіндісі

теңдігі арқылы анықталады. Сонымен қатар х векторының нормасы

Теңдігі бойынша анықталады.

Осы мәселеге байланысты скалярлық (ішкі) көбейту амалы ұғымы анықталған сызықтық кеңістіктерді қарастыру өте маңызды. Бұлар гильберт кеңістігі. Н қайсыбір x,y,z,… элементтерінің жиыны болсын.

1. Н-комплексті сызықтық кеңістік

2. Кез келген х,у элементтерінің скалярлық көбейтіндісі деп аталады және төменде келтірілген мынадай шарттарды қанағаттандырады

1) (дербес жағдай – - нақты сан)

2)

3) - кез келген λ комплекс саны үшін

4) саны х элементінің нормасы деп аталады. Бұл шаманың норманың барлық талаптарына сай келетінін төменде көрсетеміз.

3. Н p(x,y)= метрикасы бойынша толық кеңістік болады

4. Н кеңістігінде үшін n сызықтық тәуелсіз элемент табылады. Осы жағдайда Н- абстракт гильберт кеңістігі дееп аталады.

Енді гильберт кеңістігінің бірнеше қарапайым қасиеттерін қарастырамыз 1-3 аксиомалардан мынадай қорытынды шығарамыз

Соңғы теңсіздіктен

Енді скаляр көбейтінді үшін Буняковский теңсіздігін табамыз:

комплекс λ сан үшін

Немесе

Енді деп алсақ, онда

Ізделінді теңсіздікті таптық. Осы теңсіздікті пайдаланып

2.Ортогональдық (анықтама)

Х,у кез келген екі элемент болсын. Егер болса, онда х,у элементтері ортогональ деп аталады (немесе х деп белгіленеді). Егер х үшін элементі

Болса, онда х элементі L ішкеңістігіне ортогональ деп аталады және бұл

х⊥L

деп белгіленеді.

Енді Н гильберт кеңістігіндегі ортогональдыққа байланысты маңызды бір теореманы келтіреміз.

Теорема. х және L H кеңістігінің қайсыбір ішкеңістігі болсын. Осы жағдайда мынадай теңдік орындалады

х

мұндағы у . Бұл жіктелу жалғыз.

Дәлелдеу. Егер х болады

Сондықтан х деп ұйғарамыз

Болсын тізбегі мынадай шартты қанағаттандырсын 1) 2) болсын. Онда сондықтан немесе

теңсіздігі орындалады. Е санын

болатындай етіп алып

Соңғы теңсіздіктен

()

Бұл теңсіздіктен h=0 болғанда да орындалады. Соңғы теңсіздіктен үшін

Соңғы теңсіздіктен деп алсақ, онда

Бұл теңсіздіктен фундаментальды тізбек екні шығады ал Н-толық кеңістік болғандықтан

L – тұйық болғандықтан y γ теңсіздігінде шекке көшсек болғандықтан х-у⊥L

Ді х-у=z ізделінді теңдікті табамыз

ңдікте жалғыз у,z болады

Енді x=y+z теңдігіндегі х-тің осылайша кескінделуі жалғыз болатынын көрсетеміз. Кері жорыйық

Болсын, мұндағы Соңғы теңдіктен y=y’ және сонымен қатар z=z’. x=y+z теңдігінен у элементіх-тің проекциясы деп аталады.

3.Ортонормальды жүйелер

Н кеңістігінде

Элементтер жүйесі теңдігін қанағаттандырса, онда ол ортонормальды деп аталады. Мұндағы

Кронекер символы деп аталады

Ортонормальды жүйеге мысал ретінде комплексті кеңістігіндегі жүйесін келтіруге болады.

Сызықтық тәуелсіздік

Сызықтық кеңістіктің шексіз элементтер жүйесінің кез келген шекті (шенелген) ішкіжиыны сызықтық тәуелсіз болса онда ол сызықтық тәуелсіз жүйе деп аталады.

Шмидттің ортогонализщациясы процесы арқылы кез келген

Сызықтық тәуелсіз элементтер жүйесін ортонормальды жүйеге айналдыруға болады.

Шынында да ол үшін деп аламыз

болсын. ортонормаль болатындай етіп аламыз. Бұл үшін теңдігі орындалатындай етіп аламыз. Енді теңдігі орындалатындай етіп аламыз. Соңғы теңдікте керісінше егер элементтері сызықтық тәуелді болады, ал бұл бастапқы берілген шартқа қайшы. Сонымен осы жолмен элементтері табылған болсын. Енді элементтің мына төмендегі теңдік орындалатындай етіп аламыз

Енді санын элементі элементтерімен ортогональ болатындай етіп аламыз. Ол үшін

теңдігі орындалу керек. Тағы да деп аламыз. Бұл теңдікте де

Сонымен кез келген сызықтық тәуелсіз элементтер жүйесін ортонормаль элементтер жүйесіне айналдыруға болатынын көрсеттік.

Енді Н гильберт кеңістігінің кез келген х элементінің берілген ортонормаль жүйе бойынша жіктелуін қарастырамыз.

ортонормаль жүйесі бойынша құрылған L ішкеңістігі берілген және х . Сондықтан осы ұйғарым бойынша сызықтық комбинациясы табылып

теңсіздігі орындалады. Бірақ

=

Мұндағы

сандары х элементінің ортонормаль жүйесі бойынша Фурье коэффициенттері деп аталады. Соңғы теңдіктен

теңдігін аламыз. Бұл теңдіктен айырмасының нормасы x элементінің жүйесі бойынша Фурье крэффициеттері болғанда ең аз мәнін қабылдайтынын көреміз. Бұл жағдайда мынадай теңсіздік аламыз

Е кез келген аз сан болғандықтан

() формуласынан қатарының жинақтылығы және

Енді х Н кеңістігінің кез келген элементі болсын. х элементінің L ішкеңістігіндегі проекциясын z деп белгілейік. Онда және

теңдігі орындалады

болғандықтан

Сондықтан мына төмендегі теңсіздік орындалады

Мұндағы . Бұл теңсіздік Бессель теңсіздігі деп аталады.