Сызықтық нормаланған кеңістіктер

Анықтама1. Х – сызықтық кеңістік болсын. Егер Х – метрикалық кеңістік болып, оның метрикасы

шартын қанағаттандырса ол (яғни Х кеңістігі) сызықтық метрикалық кеңістік деп аталады.

Сызықтық метрикалық кеңістіктердің маңызды бөліктерінің бірі – толық нормаланған сызықтық кеңістік немесе Банах кеңістігі деп аталады

Анықтама2. (сызықтық нормаланған кеңістік немесе СНК) х кеңістігі берілсін. СНК деп мынадай кеңістікті айтамыз

1. Х нақты (комплекс) санға көбейту бойынша – сызықтық кеңістік

2. Х сызықтық кеңістігінің әрбір х элементіне тиянақты бір нақты сан сәйкес келеді. Ол сан деп белгіленеді және ол х элементінің нормасы деп аталады. Х элементінің нормасы мынадай шарттарды (норманың аксиомаларын) қанағаттандырады

1)

2)

3)

Х СНК – де метриканы мына формула арқылы енгізуге болады

Осы теңдік арқылы енгізілген (метрика) арақашықты метриканың барлық аксиомаларын қанағаттандырады. Енді элементтер тізбегінің х элементіне жинақталуын анықтаймыз.

Осы жолмен анықталған жинақтылық норма бойынша жинақталғанда толық болса онда ол Банах кеңістігі деп аталады.

Енді Банах кеңістігіне бірнеше тиянақты мысалдар келтірейік.

1. N өлшемді векторлық кеңістік

Банах кеңістігіне айналады. банах кеңістігінде алғашқы енгізілген метрика мен норма бойынша енгізілген метрика бір

2. С сегментінде анықталған үзіліссіз функциялар кеңістігі. Бұл сызықтық нораланған кеңістік. Оның нормасы

Сонымен қатар бұл Банах кеңістігі. Бұл метрикалық кеңістік болатынын біз алғашқы сабақтарда қарастырғанбыз.

Демек бұл кеңістіктің метрикасы алғашқы метрика мен бірдей.

3. Lp – Банах кеңістігі. Lp(p

Теңсіздігін қанағаттандыратын сан тізбектерінің

P(x,y)=

Метрикасы бойынша метрикалық кеңістігі. Сонымен қатар lp – сызықтық кеңістік: егер

Lp – сызықтық нормаланған кеңістік:

Және lp – сызықтық нормаланған толық кеңістік, немесе lp – Банах кеңістігі

4.Zp кеңістігінде анықталған өлшемді нақты (комплексмәнді)

Шартын қанағаттандыратын f(x) функцияларының

Бұл кеңістіктердің метрикасы алғашқы енгізілген метрикамен бірдей.

5.m – кеңістігі – шектелген сандар тізбегінің метрикалыққ кеңістігі. Егер х болса

үшін

теңсіздігі орындалады. Бұл кеңістіктің метрикасы

болады. Сонымен қатар m –сызықтық нормаланған кеңістік сызықты болуы:

Және

M – нормалданған кеңістік

Сонымен қатар m-толық сызықтық нормаланған кеңістік немесе m - Банах кеңістігі

Сызықтық нормаланған кеңістіктердегі жинақтылық

Сызықтық нормаланған кеңістікті СНК-ның іш кеңістігі

Алдымен элементтері болсын

Бұл теңдіктен

Және

Бұл теңсіздіктерден орындалғанда

сонымен қатар

x=y+x-y болғанда

Немесе

Енді соңғы теңсіздіктегі х пен у- тің орнын ауыстырсақ

немесе

Соңғы теңсіздіктен мынадай тұжырым шығады:

Егер және -шектелген сан тізбегі болады.

Толық метрикалық кеңістіктердің қасиеттері Банах кеңістіктерінде де орындалатынын атап өтеміз. Х – қайсыбір СНК болсын. Осы кеңістіктегі центрі а нүктесінде, радиусы r-ге тең шарды

K(a,r)

Деп белгілейік.

Енді болсын

Енді кез келген элементін алайық. Онда

Демек

Енді Банах кеңістігіндегі шардың екі қарапайым қасиетін атап өтеміз:

Центрі координаталар басында болатын радиусы r

r

Теңсіздігін қанағаттандыратын шар х элементін қамтиды (немесе х шардың ішінде жатады) ал центрі координаталар басында болатын радиусы r’ r’ теңсіздігін қанағаттандыратын шар х-ті қамтымайды (немесе х шардың сыртында жатады) (екінші суретке қараңыз)

Анықтама. Х-СНК болсын. L X кеңістігіндегі көпбейне болсын. Егер L – тұйық жиын болса, онда ол L – X кеңістігінің ішкеңістігі деп аталады.

Егер L n – өлшемді (n көпбейне болса, онда теңдігі орындалады, ал егер L шексіз өлшемді көпбейне болса онда

теңдігі орындалмауы да мүмкін.

Сызықтық нормаланған кеңістіктің ішкеңістігінің кейбір қасиеттері

Жоғарыда келтірілген анықтаманың негізінде СНК – ның ішкеңістігінің кейбір қасиеттерін атап өтейік.

Мысалы: Х және осы кеңістіктің

Элементтері бойынша құралған Z сызықтық көпбейнесі болсын. Осы шарт орындалғанда Z барлық көпмүшеліктердің жиыны болады

Және

Енді СНК – ның ішкеңістігі үшін маңызды тұжырым орындалады

Лемма (Ф.Рисс). Z X СНК – нің ішкеңістігі болсын және L . Осы жағдайда үші ) табылып

теңсіздігі орындалады.

Шынында да L болғандықтан үшін d=inf шамасын енгіземіз.

Онда d . Ал егер d=0 болса -дің шекті элементі болар еді, сондықтан , ал бұл лемманың шарты бойынша мүмкін емес, сондықтан да d

d

енді және бұл және

Енді L кез келген х элементін алайық және

Z=

болсын. Осы аталған шарттар орындалғанда

немесе

Лемма дәлелденді.