Сызықтық нормаланған кеңістіктердің изоморф болуы

- сызықтық нормаланған кеңістіктер болсын. изоморфты бейнелейтін өзара – бірмәнді және өзара – үзіліссіз бейнелеу табылса, онда кеңістіктері изоморфты кеңістіктер деп аталады. Мына төмендегідей маңызды теорема орындалады

Теорема. Өлшемі берілген n санына тең болатын барлық шенелген өлшемді СНК – ер n – өлшемді евклид кеңістігін изоморфты және сондықтан бір- біріне изоморфты.

Дәлелдеу Х – n –өлшемді СНК болсын, a осы кеңістіктің базисі болсын.

Онда мына төмендегі түрде бірмәнді кескінделеді

x элементіне элементін сәйкестендіреміз. х және элементтері арасындағы осында сәйкестік өзара – бірмәнді болады. Сонымен қатар бұл сәйкестік Х және сызықтық кеңістіктерінің арасында изоморфизм болады. Енді осылайша орналасқан сәйкестігіміз өзара-үзіліссіз болатынын көрсетеміз үшін

Осы теңсіздіктен салдар ретінде

тәуелді емес

Енді соңғы теңсіздіккке қарама-қарсы теңсіздік болатынын көрсетеміз S бірлік шар болсын. Осы шардың бетінде анықталған

S шарының бетінде барлық бірден нөлге тең болмайды сондықтан элементтерінің сызықтық тәуелсіздігінен

F(

Теңсіздігі f( функциясының үзіліссіз екенін көрсетеді.

Вейерштрасс теоремасы бойынша бұл функция S шарының бетінде өзінің минимумын қабылдайды.

болатынын жеңіл көруге болады. Сондықтан осыдан

табамыз.

(1) және (3) теңсіздіктерден

Х

Бейнелеуінің өзара – үзіліссіз болатыны шығады.