Интегралдық теңдеудің шешімінің бар және жалғыз болуы

Екі айнымалы шамаға тәуелді нақты К(t,s) функциясы a квадратында анықталған, өлшемді функция болсын. Сонымен қатар

()

Теңдігі орындалсын. Сонымен қатар

F(x)

Осы шарттар орындалғанда

Интегралдық теңдеуінің λ параметрінің өте аз мәндерінде жалғыз х(t) шешімі бар.

Дәлелдеу. Мынадай интегралдық операторды қарастырамыз

Бұл оператор функциясын осы кеңістігінде жататын функцияға бейнелейтінін көрсетеміз. F(t) тиісті болғандықтан

Операторы болатынын көрсетсек жеткілікті () шартынан және Фубини теоремасынан – нің барлық дерлік мәндерінде s бойынша да интегралданы. Осының нәтижесінде барлық дерлік мәндерінде

Интегралының бар болуы шығады. Онда Буняковский теңсіздігі бойынша

– тұрақты болғандықтан және () шарт бойынша -да t бойынша интегралданады. Демек функциясы да интегралданады және

Енді р(Ах,Ау) шамасын бағалайсыз

Р(Ах,Ау)

=

=

Егер

Теңсіздігі орындалса, онда қысылыңқы бейнелеу принципінің қолдану шарты орындалады және λ-ның осындай мәндерінде қарастырып отырған интегралдық теңдеудің жалғыз шешімі бар.