Оператордың нормасы

А – сызықтық шенелген оператор болсын. Анықтама бойынша М саны табылып, барлық х үшін

теңсіздігі алынады.

Анықтама

Теңсіздігін қарастырайық. Осы теңсіздіктегі М-нің ең кіші мәнін А операторыныың нормасы дейді және деп белгіленеді. Сонымен

Енді оператор нормасының бірнеше қасиеттерін атап өтеміз.

1.

теңсіздігі орындалады.

элементі табылып

теңдігін, немесе осы теңдікке эквивалент

теңдікті дәлелдейміз.

Дәлелдеу. Шынында да, егер орындалса

Демек

Басқа жағынан элементі табылып

теңсіздігі орындалады. Енді бірлік элементін аламвын. Бұл элемент үшін

болғандықтан

Сондықтан

( теңсіздіктерінен

теңдігі шығады.

Енді оператордың нормасын табуға арналған мысал келтіреміз

1.Мысал. операторының С[-1,1] кеңістігіндегі нормасын табыңыз. Шешуі. болатын жеңіл көруге болады.

Бұл суретте штрихталған фигураның ауданы тең

2. Мысал

Интегралдық операторының нормасынн табыңыз. Оператордың ядросы K(t,s) t және s бойынша үзіліссіз функция және бұл оператор С[0,1] кеңістігін С[0,1] кеңістігіне бейнелейді. Бұл операторды

Ax=

Бұдан

=

Сондықтан

- үзіліссіз функция, сондықтан ол қайсыбір нүктесінде өзінің максимумын қабылдайды. шарттарын қанағаттандыратын үзіліссіз функция болсын, мұндағы функциясы барлық нүктелерде (

және

=

Бұл теңсіздік барлық t үшін орындалады

Сондықтан барлық t үшін

Соңғы теңсіздікте t= деп алсақ мынадай теңсіздік аламыз

болғандықтан мынадай теңсіздік аламыз

Немесе

( теңсіздіктерін салыстыру арқылы біз

теңдігін аламыз.