Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық тәсілі

N – өлшемді арифметикалық кеңістікті қарастырайық. Егер

болса метриканы мына теңдік арқылы анықтаймыз

Осы метрика арқылы анықталған кеңістікті деп белгілейік. - толық метрикалық кеңістік болатынын жеңіл байқауға болады.

кеңістігінде

теңдіктерімен анықталған

у

операторын қарастырамыз.

Теорема: Егер ( матрицасы

барлық і үшін, (2)

теңсіздігін қанағаттандырса, онда

Теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі бар

Бұл шешімді кез келген х векторынан басталған итерация тәсілі бойынша алуға болады.

Дәлелдеу

Теореманың негізгі шарты орындалғанда

Қысылыңқы бейнелеу принципінің шарты орындалады, демек қарастырып отырған оператордың жалғыз қозғалмайтын нүктесі бар, немесе қарастырылып отырған сызықты алгебралық теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі бар. (2) шарт итерация тәсілінің жинақты болуының жеткілікті шарты болып табылады

Ескерту Егер n-өлшемді кеңістікте басқа метрика енгізсек итерация тәсілінің жинақталуының басқа жеткілікті шартын табамыз. Мысалы егер р(х,у)-ні

түрінде алсақ онда (2) шарттың орнына теңсіздігі жүреді.