Метрикалық кеңістік

Кірсіпе

Функционалдық анализ қазіргі математика ғылымының негізгі және өте маңызды тарауларының бірі болып табылады. Жеке ғылым ретінде функционалдық анализ ХІХ ғасырмен ХХ ғасырда қалыптасты.

Функционалдық анализ негізгі және маңызды ұғымдарының бірі кеңістік ұғымы болып табылады. Ф анализде шекті өлшемді кеңістіктермен қатар шексіз өлшемді кеңістіктерде қарастырылады.

Элементтері тізбектер немес функциалар болатын кеңістіктерді функционалдық кеңістіктер деп атаймыз.

Функционалдық кеңістікте анықталған мәні сандық функция болатын айнымалы шаманы функционал деп атаймыз.

Анықталу облысы да, мәндерінің облысы да қайсыбір функционалдық кеңістіктерде болатын айнымалы шаманы оператор деп атаймыз.

Анықтамадан көрініп тұрғандай функционал оператордың дербес түрі болып табылады.

Функционалдық анализ қазіргі математика ғылымында кеңінен қолданылады сонымен қатар ол кванттық физика мен кванттық химияда да қолданылады.

Метрикалық кеңістік

Қайсыбір М жиыны берілсін. х,у,z… осы жиынның қайсыбір элементтері болсын, немесе

x€М, у€М,

М жиынының кез келген Vх, у,z€М элементтер жұбын алайық және осы х,у элементтеріне теріс емес нақты P(х,у) санын сәйкестендірейік. Р(х,у) саны мына төмендегі шарттарды (аксиомаларды) Р(х,у)=0 <=> х=y (тепе теңдік аксиомасы)

1) Р(х,у) =P(x,y) (симметрия аксиомасы)

2) Р(х,у)≤Р (х,у)+Р(z,у) (үшбұрыш аксиомасы)

Р(х,у) саны х және у эжлементтерінің арақашықтығы деп немесе метрика деп аталады, М жиыны метрикалық кеңістік деп аталады және оны (М, р) деп белгілейміз. Жоғарыда келтірілген 3 шарт метрикалық кеңістіктің аксиомалары деп аталады. Х,у,z... элементтер метрикалық кеңістіктің нүктелері деп аталады.

Енді метрикалық кеңістіктегі жинақтылықты анықтайық

Анықтама €(М,l) тізбегі берілсін. Егер болса онда тізбегі х-ке метрика бойынша жинақталады деп айтамыз.

Енді метрикалық кеңістікке бір екі мысал келтірейік

1. Мысал. М- кез келген жиын болсын. Және х,у,... оның элементтері болсын

Енді осы р(х,у) функциясы үшін метриканың аксиомаларының орындалатынын көрсетейік

1) Егер х=y =>р(х,у)=0 және р(х,у)=0=> х=у т.т.а.ор.

2) Егер х=у=> р(х,у)=р(у,х), ал егер х≠у болса р(х,у)=1, р(у,х)=1 болады демек х≠у=>р(х,у)=р(у,х) демек симметрия аксиомасы

3) Енді үшбұрыш аксиомасын тексерейік

1. х=у≠z (х≠у=z деп те алуға болады). Онда р(х,у)=0, р(х,z)=1 р(у,z)=1 бұдан 0<1+1 немесе р(х,у)<р(х,z)+р(у,z) шығады

2. ал егер х≠у≠z болса 1<1+1 теңсіздігінен р(х,у)<р(х,z)+p(y,z) m-шығады ∆аксиома орындалады (М,р) – оқшаулығы нектелер а.к. деп аталады.

2.Мысал. М нақты сандар жиыны болсын, х,у,... – нақты сандар оның элементтері болсын

деп алайық. Осы үшін метрика аксиомалары орындалатынын тексерейік

1) егер Енді немесе arctg x =arctg y=>x=y себебі у=arctg x –өспелі ф.

Демек тепе-теңдік аксиомасы орындалады екен.

Симметрия аксиомасы да орындалады, оны жеңіл көруге болады.

Енді мүшбұрыш аксиомасын қарастырайық z M-нің V нүктесі болсын

Демек метрика.

3.Мысал. М-нақты сандар жиыны болсын, х,у,... оның элементтері болсын

х=0 және у=π нүктелерін қарастырайық

Бұл теңдіктен функциясы үшін тепе теңдік аксиомасы орындалмай тұр сондықтан метрика емес.