Гельдер және Миньковскийдің интегралдық теңсіздіктері

x(t) және у(t) функциялары [а,в] кесіндісінде үзіліссіз болсын. Осы функциялар үшін мынадай теңсіздіктер орындалады:

Бұл теңсіздіктер Гельдер және Минковский интегралдық теңсіздіктері деп аталады және оны дәлелдеусіз атап өтеміз.

6. р – дәрежесінде интегралданатын функциялар кеңістігі

Анықтама (Лебег класы). [а,в] кесіндісінде анықталған және өлшемді нақты (комплексмәнді) f(x) функциясы

шартын қанағаттандырсын. Онда f(x) функциясы Lp(a,b) Лебег класына тиісті деп айтамыз және оны

f(x)

деп белгілейміз. Анықтамадағы р саны р теңсіздігін қанағаттандырады.

Егер f(x) және g(t) Lp(a,b) болса, онда

F(t)+g(t) Lp(a,b)

және

Өрнектерінің өте жеңіл дәлелденетін байқауға болады. Мұндағы – нақты(комплекстерді) сан.

Ендігі біздің мақсат Lp(a,b) Лебег класын метрикалық кеңістікке айналдыру. Ол үшін кез келген

x(t) Lp(a,b) және y(t) Lp(a,b)

Функциялары үшін арақашықтың ұғымын енгіземіз

Осылай анықталған р(х,у) – метрика болады. Тепе – теңді және симмметрия аксиомалары орындалатынын жеңіл байқауға болады. Ұшбұрыш аксиомасы Минковскийдің интегралдық теңсіздігінен шығады. Пайда болған метрикалық кеңістік р – дәрежесінде интегралданатын функциялар метрикалық кеңістігі деп аталады және ол Lp(a,b) деп белгіленеді, ал функционалдық гильберт кеңістігі деп аталады

Енді Lp(a,b) метрикалық кеңістігіндегі жинақтылыққа тоқтайық.

Осы жағдайда тізбегі х(t) функциясына орташа р көрсеткішімен жинақталады деп айтамыз.

6. Lp(p сан тізбектерінің кеңістігі.

теңсіздігін қанағаттандыратын

Сан тізбектерінің жиынын қарастырайық және оны

lp

деп белгілейік. Өткен тақырыптағы метрикалық кеңістік сияқты мына тұжырымдардың орындалатынын жеңіл байқауға болады. Егер

орындалатынын жеңіл көруге болады.

Гельдер және қосындыға арналған Миньковский теңсіздіктерін пайдаланып, мына төмендегідей теңсіздіктер жазамыз

және

Х-х= нақты сандар тізбектерінің жиыны болсын. Егер

ардың арақашықтығын

теңдігі арқылы анықтаймыз.

Тепе – теңдік және симметрия аксиомаларының орындалатынын оңай байқауға болады. Үшбұрыш аксиомасы Миньковскийдің қосындыларға арналған теңсіздігінен шығады. Осы жолмен пайда болған метрикалық кеңістік lp кеңістігі деп аталады, ал кеңістігі координаттық гильберт кеңістігі деп аталады

Бұл мына төмендегі тұжырымдарға шамалас(эквивалент)

1. n барлық і үшін

2.

Толық кеңістіктер. Қайсыбір тиянақты кеңістіктердің толық болуы.

Негізгі ұғымдар: Х метрикалық кеңістіктің элементтерінің тізбегі мынадай шартты қанағаттандырсын:

болғанда

P(

Теңсіздігі орындалса тізбегі – фундаментальдық тізбек деп аталады.

Егер тізбегі шегіне жинақталса, онда ол фундаментальдық тізбек.

Дәлелдеу: теңдігі орындалсын. Онда үшін нөмірі табылып

болады. Сондықтан

Кері тұжырым кейбір метрикалық кеңістік үшін орындалмауы мүмкін. Қайсыбір метрикалық кеңістікте фундаментальды тізбек табылып, ол тізбек ешқандай шекке жинақты болмауы мүмкін.

Мысалы: теңдігі арқылы анықталған метрикалық кеңістік болсын, мұндағы Х-рационал сандар жиыны.

Осы кеңістікке

тізбегін қарастырайық. Бұл тізбек – фундаментальдық тізбек және оны шегі бар:

Ал енді осы (х,р) метрикалық кеңістігінде

рационал сандар тізбегін қарастырайық. Бұл тізбек фундаментальды тізбек және

е – рационал сан емес, демек бұл тізбек фундаментальды тізбек болғанымен оның (х,р) метрикалық кеңістігінде шегі жоқ. Бұл тұжырым жоғарыда келтірілген тұжырымға мысал ретінде алуға болады.

Анықтама: Х метрикалық кеңістігінде кез келген фундаментальдық тізбек осы кеңістіктің элементі болатын элементте жинақталса, онда Х метрикалық кеңісті толық метрикалық кеңістік деп аталады.

Осыған байланысты мынадай тұжырымды атап өтейік: толық кеңістіктің тұйық жиыны да толық кеңістік болады.