Ысылыңқы бейнелеу принципі

Алгебра да, математикалық анализде итерация тәсілі (біртіндеп жуықтау тәсілі) кеңінен пайдаланылады. Бұл тәсілдің теңдеулердің жуықталған шешімдерін табуда да маңызы орасан зор. Бірнеше итерация тәсілдерін функционалдық анализда бір көзқараспен қарап зерттеуге мүмкінді бар. Бұл тәсіл қысылыңқы бейнелеу принципі деп лады. Бұл мәселені бірінші рет қарастырған польша математигі С.Банах болды

Теорема (Банах): Х толық метрикалық кеңістігінде А операторы берілсін. сонымен қатар үшін (1)

Мұндағы

Теңсіздігі орындалсын. Онда бір тек қана бір нүктесі табылып теңдігі орындалады.

нүктесі А операторының қозғалмайтын нүктесі деп аталады

Дәлелдеу: Х кеңістігін қайсыбір тұрақты етілген (фиксированная) х нүктесін аламыз және

деп аламыз және мына төменде келтірілген теңсіздіктерді жазамыз.

……………………………………………………….

……………………………………………………….

Осы теңсіздіктерді пайдаланып, мынаны жазамыз

(2)

Теореманың шарты бойынша сондықтан

Соңғы теңсіздіктен ұмтылғанда , Демек - фундаментальдық тізбек. Х – толық кеңістік болғандықтан

Енді теңдігінің орындалатынын көрсетеміз

Бұдан нүктесінің жалғыз екендігі дәлелдеусіз атап өтеміз. Теорема толық дәлелденді.