Метод вариации произвольной постоянной.

В этом методе сначала решается соответствующее однородное линейное уравнение: . Это уравнение с разделяющимися переменным, которое может быть записано в виде и проинтегрировано.

После интегрирования получим:

Под интегралом подразумевают любую первообразную.

На втором этапе решения считают, что с может зависеть от х. Отсюда происходит название: вариация произвольной постоянной. И решение уравнения ищут в виде: .

Подставим это значение у в дифференциальное уравнение:

.

Второе и третье слагаемое в сумме равны нулю, т.к. - это решение однородного дифференциального уравнения .

Для функции с получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: , решая которое находим функцию с, затем подставляем найденное с в выражение и получаем общее решение дифференциального уравнения.

Пример:

Найти общее решение дифференциального уравнения: .

1. найдем решение соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения:

.

2. делаем произвольную постоянную зависимой от х, т.е. , и подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Подставляем найденное в проект общего решения () и получим: .

Метод Бернулли.

В этом методе решение уравнения ищут в виде произведения двух функций .

Суть метода в том, что одна из этих функций подбирается таким образом, чтобы для второй функции получалось уравнение с разделяющимися переменными.

.

Функция Uвыбирается так, чтобы подчеркнутые слагаемые в сумме давали ноль. Чтобы найти такую функцию Uдостаточно решить уравнение: . Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим функцию U(x). Произвольную постоянную можно взять любую.

Замечание: фактически для функции Uрешается соответствующее однородное уравнение.

Далее, в оставшуюся часть уравнения (*), подставляют найденную функцию U. . Это уравнение с разделяющимися переменными для переменной V. Решая его находим V(x), а затем, перемножая UV, находим у.

Пример: решим тот же пример методом Бернулли.

Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Ищем решение в виде ; .

Подставляем в дифференциальное уравнение: .

1. выбираем Uтак, чтобы скобка обратилась в ноль, т.е.

. После интегрирования получим:

; пусть с = 1 .

2. подставим Uв уравнение (1):

3. перемножаем найденные Uи V:

.